统计物理

• Blotzmann常量：$k_B={R\over N_A} = 1.38\times 10^{-23}J/K$
  

  常用数学方法

• 本章用到的数学方法：
  1. Stirling公式：N很大时，有$\ln{N!}=N\ln{N}-N$
  2. 变分法$\delta Y$：当输入到一个函数里的自变量为一个函数Y且当Y变化的时候，对应泛函的值的变化，可以简单的理解为微分
  3. Lagrange乘子法：在有约束的条件的条件下求极值
     • 定义目标函数$f(x,y)$约束条件$g(x,y)$，则Lagrange函数为：$$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$$
     • 求$f(x,y)$的极值等价于求Lagrange函数的极值
     • 其中，$\lambda$为Lagrange系数，由待定系数法给出，后续可通过消元法求出具体值,详见[[高等数学总复习]]
  4. n维球体积公式：$$V_n(R)=\displaystyle eR^n{\displaystyle \pi^{n\over 2}\over\displaystyle {n\over 2}\Gamma({n\over 2})}$$
     • 其中，$\Gamma(\alpha)$为Gamma函数,$\Gamma(\alpha)=\int^{+\infty}_0t^{\alpha-1}e{-t}dt$
  5. 可能会用到的积分：
     1. $\displaystyle \int^\infty_0{x\over e^x-1}dx={\pi^2\over 6}$
     2. $\displaystyle\int^\infty_0{x^2\over e^x-1}dx\approx2.404$
     3. $\displaystyle \int^\infty_0e^{-\alpha x^2}dx={\sqrt{\pi}\over 2\alpha^{1/2}}$
     4. $\displaystyle \int^\infty_0xe^{-\alpha x^2}dx={1\over 2\alpha}$
     5. $\displaystyle \int^\infty_0x^2e^{-\alpha x^2}dx={\sqrt{\pi}\over 4\alpha^{3/2}}$

统计热力学导论

熵

• 对于一个硬币:随机地抛掷N次,设$N_1$为硬币朝上的发生次数
  • 平均发生数$\bar{N_1}$为$N_1$的数学期望
  • 热力学微观态数:$$\omega_k={N!\over N_1!(N-N_1)!}=\left(\begin{array}{c} N\N_1\end{array}\right)$$,对于一个粒子,若粒子有n个状态数,则$$\omega_k={N!\over\prod_nN_i!}$$
• $p_k$与熵$S$的关系
  • Boltzman公式:$$S=k_B\ln\omega$$

$\mu$空间

• 相空间:系统所有可能状态的空间,三维的相空间是六维的,由动量$p_r$,位置$q_r$各占三个维度
• Hamilton量:
  • 一个有r个自由度(坐标维数)的粒子的Hamilton量写作$$H=\sum^r_{i=1}[{p_i^2\over 2m}+V(q_i)]$$,其中,$V(q_i)$为粒子在第i维的势能
• 相体积$\Sigma(\epsilon)$:等能面在相空间内包裹的体积,相体积越大,可能的运动状态越多
  • 定义为:$$\Sigma(\epsilon)=\idotsint_{H\le\epsilon}dq_1\cdots dq_r\,dp_1\cdots dpr$$
    ,通常可认为:$$\Sigma(\epsilon)=L^r\idotsint{H\le\epsilon}dp_1\cdots dp_r$$,若在Hamilton量中,广义坐标与对应动量存在耦合,应将积分逐层积出,如经典转子
  • 能量层$\epsilon\sim\Delta\epsilon$之间的相体积用如下公式计算:$$\Sigma(\epsilon+\Delta\epsilon)-\Sigma(\epsilon)={d\Sigma(\epsilon)\over d\epsilon}\Delta\epsilon$$
• 态密度$g(\epsilon)$:某一能量$\epsilon$处单位能量间隔的状态数目
  • 定义为:$$g(\epsilon)=g_s{1\over h^r}\cdot{d\Sigma(\epsilon)\over d\epsilon}$$
  • 在测量精度$h=\Delta p_i\Delta q_i$内,动量和坐标无法区分,认为是粒子的同一个状态
  • 其中,$g_s$为自旋因子,对于零自旋的玻色子,$g_s=1$;对于1/2自旋的费米子,$g_s=2$